Exponentielles
On entend parfois parler de choses qui augmentent de façon exponentielle. On comprend alors que ça augmente vite mais se rend on bien compte d’à quel point ?
Échiquier
Pour appréhender ce concept, imaginons une petite expérience. Prenons un échiquier classique (64 cases) et plaçons sur la première case une pièce de un euro. Sur la deuxième case, nous placerons deux pièces de un euro, empilées. Puis 4 sur la 3ème case, 8 sur la 4ème case et ainsi de suite, en doublant le nombre de pièces à chaque nouvelle case.
Quand nous aurons fini la première ligne, nous aurons donc placé 128 pièces sur la 8ème case. Une pièce de un euro ayant une épaisseur de 2.33mm, notre pile de 128 pièces a donc une hauteur de près de 30cm.
Quand nous aurons complété la seconde ligne, nous serons à la 16ème case, sur laquelle nous aurons 32768 pièces, et la pile de pièce fera plus de 76m de haut.
A la fin de la 3ème ligne, la pile de pièces sur la 24ème case fera plus de 19.5km de haut. Et la fin de la 4ème ligne, celle sur la 32ème case fera plus de 5000km de haut.
Quand nous aurons rempli l’échiquier, la pile de pièces de un euro sur la 64ème case en comportera 263 (9 223 372 036 854 775 808) et elle fera plus de 21490 milliards de km de haut, soit un peu plus de la moitié du trajet entre la Terre et Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche de nous.
Épidémie
Autre exemple classique, celui des épidémies. Imaginez une situation dans laquelle le nombre de cas double chaque jour. Le premier jour, on a un seul cas. Le second, 2 cas, le troisième 4 cas et ainsi de suite.
Au bout d’une semaine, nous avons 64 cas. A la fin de la 2ème semaine, nous avons 8192 cas, et à la fin de la 3ème semaine, nous en avons 1048576. Au bout de 34 jours, les 8.2 milliards d’habitants de la planète sont infectés.
Pliage
Pour notre troisième exemple, nous allons imaginer plier sur elle même une feuille de papier. Quand nous la plions une première fois, l’épaisseur de l’ensemble est le double de celle d’une seule feuille. Une feuille au format A4 80g fait environ 0.1mm d’épaisseur.
Au bout de 5 plis, nous avons donc une épaisseur de 3.2mm. Au bout de 10 plis, nous avons une épaisseur de 10.24cm. Avec 30 plis, l’épaisseur de notre pliage est de plus de 107km. Avec 50 plis, nous atteignons une épaisseur d’environ 112.59 millions de km.
Avec seulement 103 plis, la hauteur de notre ensemble dépasse de 14% la taille de l’Univers visible.
Données informatiques
Un dernier exemple avec des données informatiques. Nous partons d’une quantité de un octet et nous doublons cette quantité toutes les secondes.
Au bout de 10s, nous avons 1ko. Au bout de 20 secondes nous avons 1Mo. Au bout 30s, nous avons 1Go. Après 40s, 1To, et après 50s 1Po.
En seulement 1min08s, nous atteignons 256Zo, soit 41% de plus que la quantité totale de données générées en 2025.
