Bob souhaite envoyer un message privé à Alice. Ils doivent d’abord se mettre d’accord sur le système de clef qu’ils vont utiliser.

Alice va donc créer deux clefs : une clef publique, qu’elle pourra envoyer à Bob de façon non sécurisée (c’est pour ça qu’on dit qu’elle est publique, n’importe qui pourrait y avoir accès), et une clef privée qu’elle gardera précieusement. Bob fera de même de son côté.

Ce système avec deux clefs est appelé un système asymétrique : on utilise une clef pour chiffrer un message et une autre clef, différente, pour déchiffrer le message.

Ce système a été inventé par R. Rivest, A. Shamir et L. Adleman, d’où le nom RSA, d’après les travaux de  W. Diffie et à M. Hellman.

Pour générer ces clefs, Alice va choisir deux nombres premiers distincts, notés p et q. Pour rendre notre exemple simple, on va dire qu’elle choisit p=5 et q=17. Dans la réalité, les nombres premiers en jeu sont gigantesques, ils comportent plusieurs centaines de chiffres décimaux.

Elle va maintenant calculer le produit de p et q qu’on notera n. On aura donc n = p × q. Ici, avec p=5 et q=17, on aura n=5×17=85.

Alice va aussi calculer le produit de p-1 et q-1, qu’on notera φ(n). On aura donc φ(n)=(p-1)×(q-1). Dans notre exemple, ça donnera φ(n)=(5-1)×(17-1)=4×16=64. A partir de maintenant, on peut oublier p et q, nous n’en aurons plus besoin.

Elle choisira ensuite un nombre e, tel que 1 < e < φ(n) et e premier avec φ(n), c’est à dire que le PGCD de e et φ(n) est égal à 1. Dans notre exemple, nous choisirons e=3 (3 est bien compris en 1 et 64 et 3 est aussi premier avec 64).

Enfin, Alice va calculer l’inverse modulaire de e modulo φ(n) qu’on notera d. On cherche donc e tel que (d × e) est congru à 1 modulo φ(n). Pour ce faire on pourra utiliser le théorème de Bachet-Bézout, qui nous dit que ax + by = pgcd(a, b) et le petit théorème de Fermat qui nous dit que pour tout p premier, on a^p ≡ a (mod p). On aura donc ici d=43, car 43×3 ≡ 1 mod(64).

On a donc une clef publique (e, n) avec e=3 et n=85 et une clef privée (d, n) avec d=43 et n=85.

Pour rester simple, on va dire que le message que Bob souhaite envoyer à Alice est le nombre 10. Il faut que ce nombre soit inférieur à n, ce qui est bien le cas ici. On notera ce nombre M.

Pour chiffrer son message, Bob va utiliser la clef publique d’Alice (qui contient e=3 et n=85) et calculer C = M^e mod(n), ou C est le message chiffré qu’il enverra à Alice. Ici, C=10³ mod(85) = 65.

Il envoie donc 65 à Alice. Pour décoder ce 65 et retrouver le 10 original, Alice calculera M = C^d mod(n), ce qui nous donnera M = 65⁴³ mod(85), ce qui donne bien 10.

Voici une petite application qui vous permettra de tester avec vos propres données.

Attention, ici c’est un exemple très simplifié, on a juste vu le principe, mais un vrai chiffrement RSA est plus complexe que ça. Il utilise des clefs d’une taille énorme, il travaille en binaire, on choisit e d’une façon plus intelligente, etc.

Voici par exemple un nombre premier utilisé pour p ou q dans une version normale 2048 bits de RSA :

139903732236291453096811051973971311924811662360692348316347747578574483498591281047941918591784212013418326248739596767755702817512516663031064048130004928580247473152237195841354120301859017879901683238347321315368776622689785726469043957211545880561996677382845047621692219334239673968921471463923176364891

L’exposant privé (d) comporte typiquement environ 600 chiffres décimaux.

Très tôt, les Grecs, et notamment Archimède, ont compris qu’on pouvait calculer ses décimales en utilisant une construction géométrique consistant à inscrire un polygone régulier dans un cercle. Plus votre polygone aura de côtés, plus vous pourrez obtenir un grand nombre de décimales.

C’est avec cette méthode que Ludolph van Ceulen (17ème siècle) obtiendra 35 décimales, après 20 ans de travail, en utilisant un polygone régulier à 2⁶² côtés.

En 1706, John Machin calculera 100 décimales, en utilisant une méthode ne nécessitant pas de construction géométrique.

L’anglais William Shanks passera plus de 20 ans à calculer 707 décimales, avec une méthode équivalente à celle de Machin, mais on découvrira plus tard que seules les 527 premières décimales étaient justes.

En 1910, le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan proposera une formule bien plus efficace.

En 1949, en utilisant l’ENIAC, un des premiers ordinateurs modernes (un monstre de 27 tonnes occupant une salle de 170m²), on trouvera 2037 décimales en laissant tourner la machine pendant 70 heures. Les 10000 décimales sont dépassées en 1958, en 33 heures.

En 1988, les frères Chudnovsky proposent une amélioration de la formule de Ramanujan.

Grâce à cette formule et aux progrès phénoménaux de l’informatique dans les décennies suivantes, on attendra les 1000 milliards de décimales en 2002 (600 heures de calcul), puis en 2009 le même nombre mais en moins de 73 heures.

En mars 2019, on atteint les 31 415 926 535 897 décimales, puis 100 000 milliards de décimales en juin 2022. Le record actuel sera établi par l’équipe d’un Youtuber canadien en mai 2025, avec 300 000 milliards de décimales calculées et vérifiées en 226 jours.

Depuis 15 ans, tous ces records sont établis en utilisant le logiciel Y-cruncher écrit par Alexander Yee. Toute machine moderne peut le faire tourner.

En utilisant uniquement la RAM, mon PC calcule un milliard de décimales en seulement 14.6 secondes. En utilisant mon SSD au format NVme, j’en calcule 100 milliards en seulement 2h14m24s.

Si bien qu’on peut dire que sur ce calcul, mon ordinateur (en mode RAM) est 8.47 milliards de fois plus rapide que l’ENIAC de 1949.

Échiquier

Pour appréhender ce concept, imaginons une petite expérience. Prenons un échiquier classique (64 cases) et plaçons sur la première case une pièce de un euro. Sur la deuxième case, nous placerons deux pièces de un euro, empilées. Puis 4 sur la 3ème case, 8 sur la 4ème case et ainsi de suite, en doublant le nombre de pièces à chaque nouvelle case.

Quand nous aurons fini la première ligne, nous aurons donc placé 128 pièces sur la 8ème case. Une pièce de un euro ayant une épaisseur de 2.33mm, notre pile de 128 pièces a donc une hauteur de près de 30cm.

Quand nous aurons complété la seconde ligne, nous serons à la 16ème case, sur laquelle nous aurons 32768 pièces, et la pile de pièces fera plus de 76m de haut.

A la fin de la 3ème ligne, la pile de pièces sur la 24ème case fera plus de 19.5km de haut. Et à la fin de la 4ème ligne, celle sur la 32ème case fera plus de 5000km de haut.

Quand nous aurons rempli l’échiquier, la pile de pièces de un euro sur la 64ème case en comportera 2⁶³ (9 223 372 036 854 775 808) et elle fera plus de 21490 milliards de km de haut, soit un peu plus de la moitié du trajet entre la Terre et Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche de nous.

Épidémie

Autre exemple classique, celui des épidémies. Imaginez une situation dans laquelle le nombre de cas double chaque jour. Le premier jour, on a un seul cas. Le second, 2 cas, le troisième 4 cas et ainsi de suite.

Au bout d’une semaine, nous avons 64 cas. A la fin de la 2ème semaine, nous avons 8192 cas, et à la fin de la 3ème semaine, nous en avons 1048576. Au bout de 34 jours, les 8.2 milliards d’habitants de la planète sont infectés.

Pliage

Pour notre troisième exemple, nous allons imaginer plier sur elle même une feuille de papier. Quand nous la plions une première fois, l’épaisseur de l’ensemble est le double de celle d’une seule feuille. Une feuille au format A4 80g fait environ 0.1mm d’épaisseur.

Au bout de 5 plis, nous avons donc une épaisseur de 3.2mm. Au bout de 10 plis, nous avons une épaisseur de 10.24cm. Avec 30 plis, l’épaisseur de notre pliage est de plus de 107km. Avec 50 plis, nous atteignons une épaisseur d’environ 112.59 millions de km.

Avec seulement 103 plis, la hauteur de notre ensemble dépasse de 14% la taille de l’Univers visible.

Données informatiques

Un dernier exemple avec des données informatiques. Nous partons d’une quantité de un octet et nous doublons cette quantité toutes les secondes.

Au bout de 10s, nous avons 1ko. Au bout de 20 secondes nous avons 1Mo. Au bout de 30s, nous avons 1Go. Après 40s, 1To, et après 50s 1Po.

En seulement 1min08s, nous atteignons 256Zo, soit 41% de plus que la quantité totale de données générées en 2025.

Ce PC était également doté de 16Mo de RAM en type DDR, cadencée à 200Mz, pour une bande passante maximale de 1600Mo/s.

Il était également équipé d’un disque dur de 2.1Go, en IDE ATA-3, avec un débit maximal de 10.3Mo/s et un temps d’accès moyen de 9.7ms. Il pesait 500g pour un volume de 301.2cm³. Il demandait 12.2W de puissance électrique en fonctionnement et 5.4W en veille.

J’avais déjà internet à l’époque, mais avec une connexion qui ne dépassait pas les 24kb/s, soit 3ko/s. Télécharger une photo de smartphone actuel en 12Mpx de 3Mo aurait pris près de 20 minutes.

En mars 2024, j’ai monté moi même mon PC actuel (le 5ème depuis le premier). J’ai choisi pas de composants haut de gamme, pour les performances mais aussi pour la qualité de fabrication (et donc la durée de vie).

Mon nouveau processeur (un 7900X d’AMD) dispose de 12 cœurs cadencés à 4.7Ghz, avec un boost à 5.4Ghz, et 24 threads. Il contient 13.4 milliards de transistors, gravés en 5nm, soit une densité de 50757576 transistors par mm². Il demande au maximum 170W de puissance électrique et à une puissance de calcul en FP32 de 563 GFLOPS.

Côté RAM, je dispose de 64Go (2×32) de DDR5, à 6400MHz en CL30, pour une bande passante maximale de 88Go/s.

Concernant le stockage, j’ai 2 SSD au format NVme en Gen 4 (Samsung 990 Pro) de 2To chacun, avec un débit en lecture maximal de 7450Mo/s et un temps d’accès de 0.046ms. Chacun de ces 2 SSD ne consomme que 5.4W au maximum et seulement 50mW au repos, et ne pèse que 9g pour un volume de 3.52cm³.

J’ai également ajouté 2 SSD de 4To au format SATA, regroupés dans un volume RAID 0 de 8To, avec un débit en lecture de 1100Mo/s pour le volume.

Quant à Internet, je dispose d’une connexion vendue pour 1Gb/s, que je mesure en réalité à 980Mb/s.

La puissance de calcul de mon processeur a donc été multipliée par plus de 8000, la quantité de RAM a été multipliée par 4096 et sa vitesse par 56, ma capacité de stockage a été multipliée par 5714 et la vitesse de ma connexion Internet a été multipliée par 42325 !

Pour le stockage, le poids au Go a été divisé par 49276, le volume au Go a été divisé par 75902.

Pour mon processeur, la densité de transistors au mm² a été multipliée par plus de 934 !

Ici je vous montre les 16 possibilités qui sont faciles à trouver, mais plus généralement, pour trouver ce nombre, il suffit de faire nombre de possibilité pour un pixel puissance nombre de pixels, soit 2⁴ (ce qui nous donne bien 16).

Mais sur un écran classique (télévision, ordinateur, smartphone, etc.), un unique pixel n’affiche pas uniquement du noir ou du blanc. Il peut en afficher bien plus.

Prenons un système dans lequel chaque pixel peut afficher 256 couleurs différentes.

On appliquerait alors la même formule, ce qui pour notre écran de 4 pixels donnerait 256⁴, soit 4 294 967 296 images différentes.

Avec cet écran et ces couleurs, si celui-ci affichait une image différente à chaque seconde, il faudrait plus de 136 ans pour toutes les avoir vues !

Sauf que dans un écran moderne, chaque pixel peut afficher environ 16.8 millions de couleurs (256³). De plus, il est composé de bien plus que 4 pixels.

En effet, la couleur de chaque pixel est codée sur 24 bits, 3x8bits. Une couleur est un assemblage d’une certaine quantité de rouge, de vert et de bleu. Cette « quantité » est codée sur 8 bits, c’est à dire que le niveau de rouge peut aller de 0 à 255, de même pour le vert et le bleu. Si bien que l’on a 256x256x256 couleurs possibles, soit exactement 16 777 216 possibilités.

Prenons l’exemple d’un téléviseur 4K. Sa grille de pixels est de 3840 pixels sur la longueur et 2160 pixels sur la hauteur, soit un total de 8 294 400 pixels (3840 x 2160).

Cet écran peut donc afficher 16 777 216^8294400 images différentes. Ce nombre est gigantesque. Mais à quel point ?

Imaginons que nous souhaitions juste imprimer ce nombre, avec tous ses chiffres. Ce nombre s’écrit avec 59 924 717 chiffres.

En utilisant un traitement de texte classique, avec les paramètres par défaut (police de caractère, taille de police, marges, etc.), à raison de 3888 chiffres par page, et donc 7776 chiffres par feuille imprimée en recto-verso, il nous faudrait 7707 feuilles A4 pour l’imprimer, soit une pile de feuilles de plus de 77cm de haut (plus de 15 ramettes de 500 feuilles).

Une autre façon d’appréhender ce nombre est de faire une petite expérience de pensée. Imaginez que cette télé affiche toutes les images possibles, à raison de 1000 images par seconde. En un an, elle aura donc affiché 31 557 600 000 images différentes.

Lorsqu’une année s’est écoulée, vous jouez au Loto. Puis la télé continue son affichage de toutes les images possibles. A chaque fois que vous gagnez au Loto, vous retirez une molécule d’eau de la Terre. Puis la télé continue son affichage des images possibles et vous jouez toujours au loto chaque année.

Quand vous avez retiré toute l’eau de la terre, vous posez une feuille de papier devant vous et vous remettez en place toute l’eau terrestre. Et le jeu continue (loto tous les ans, une molécule d’eau en moins quand vous gagnez, une feuille de plus quand toute l’eau a été retirée).

Quand la pile de feuilles atteindra Proxima du Centaure (l’étoile la plus proche du Soleil, à plus de 40 000 milliards de km de chez nous), la télé aura affiché 0.00000…[ insérer 59924612 zéros ]…000002% de toutes les images possibles.